迎来春色换人间

【帖子翻译】任意△ABC外有任意一点P，过点P作一直线，使该直线将这个△ABC的面积平分为两等份。

    如果你和我一样以前从未见过这题，恐怕很难想到用位似变换来解决它。我们先来欣赏一下这不可思议的几何妙招——

  作为一个数学爱好者，看到论坛里这样精彩的讨论，怎能不心潮涌动、跃跃欲试呢？可惜我没能拥有这精彩的创造，但我又怎能失去一份解读它的荣耀？

    让我们反过来分析（见上图），既然△GBF是△ABC面积的一半，可见它与△DBC等面积。去除公共部分不考虑，则△GDF与△CDF等面积，可见两个三角形同底等高，故GC∥DF。看来只要GC∥DF成立，证明便可完成。

    用什么方法来证明平行呢？试想，既然用到相似，当然用比例来证，就是说如果BD:BG=BF:BC成立，平行也就成立了。

    看下图进一步我们的探究。

  比例源于相似，我们肯定要研究两个黄色的相似三角形可以给我们提供什么比例式：

                     BD:BD'=BP:BC。                  

    观察比较一下我们需要的比例式可以发现什么？——两个比例式的外项是相同的！这就是说只要证到两个比例式中的内项积相等，即：BG·BF=BD'·BP，便大功告成！显然这个等积式是由比例式BG:BP=BD':BF变来的，那这个比例式又该从何处来呢？

    不难发现，它可由两个红色的三角形相似得来。换句话说只要你能证明红色三角形相似，你就可以揭晓谜底！